物理学中最强大的公式以字母S开始，这个符号表示称为积分的总和。紧接着出现的第二个S，代表一种称为作用量的量。这两个S共同构成了一个方程的核心，这个方程可以说是迄今为止预测未来最有效的方式。

这个先知般的公式被称为费曼路径积分。物理学家们认为，它准确地预测了任何量子系统的行为，无论是电子、光线还是黑洞。路径积分已经取得了巨大成功，以至于许多物理学家都认为，它是直接窥视现实本质的一扇窗户。

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荷兰拉德堡大学的理论物理学家瑞内特·洛尔说：“它是世界的真实面貌。”

所有道路都通向……

量子力学始于1926年，当时薛定谔提出了一个描述粒子状态随时间变化的方程。接下来的十年，狄拉克提出了另一种量子世界观。他的观点是基于古老的观念，即事物在从A点到B点时取“最小作用量”的路径，这条路径在时间和能量上都是最小的。后来，理查德·费曼偶然间发现了狄拉克的这一成果，并完善了这个想法，并于1948年提出了路径积分。

这个理念的核心在典型的量子力学实验——双缝实验——中得到了完全的展示。

在双缝实验中，物理学家将粒子射向一个有两个缝的屏障，并观察粒子在屏障后的墙壁上的落点。如果粒子像子弹一样，它们会在每个缝后形成一个相同形状的聚集体。然而，粒子却在背后的墙上形成重复的条纹落点。实验表明，通过缝隙的是一种代表粒子可能位置的波。两个即将出现的波前相互干涉，产生一系列可能被检测到的粒子的峰值。

在双缝实验中，波同时通过两个狭缝并在另一侧与自身发生干涉。波代表了粒子可能的位置，白色显示了它最有可能被检测到的位置。（视频来源：Alexander Gustafsson ）

干涉图案是一个极其奇怪的结果，因为它意味着粒子的两条可能路径在物理上都是真实存在的。

路径积分假设，即使没有屏障或缝隙，粒子的行为仍然如此。首先，想象在屏障上切割第三个缝隙。远处墙上的干涉图案将会变化，以反映新的可能路径。接着继续切割缝隙，直到屏障变成全是缝隙。最后，用全是缝隙的“屏障”填充剩余的空间。从某种意义上说，一个射入这个空间的粒子，会通过所有缝隙的所有路径——甚至是迂回曲折的奇异路径——到达远处的墙壁。然后，当这些选项被正确地相加时，所有这些可能性就会得到总和，最终产生你所期望的结果（就像没有障碍物存在一样）：远处墙上的一个亮点。

这是一个许多物理学家都认真对待的激进量子行为观点。“我认为它完全是真实的，”蒙特利尔大学的物理学家理查德·麦肯齐说。

可是，无限多条曲线路径如何能相加得到一条直线呢？简略来说，费曼的方案是对每条路径进行计算其作用量（穿越路径所需的时间和能量），然后从中得到一个称为振幅的数值，该数值告诉你粒子沿该路径行进的可能性有多大。然后将所有的振幅相加，得到从这里到那里的粒子的总振幅，也就是所有路径的积分。

从直观上来看，弯曲的路径和直线路径可能性一样大，因为任何单独路径的振幅都相同。然而，这里至关重要的是，振幅是复数（complex number）。实数（real number）是线条上的点，而复数则像箭头一样。这些箭头指向不同的方向，代表不同路径。指向相反方向的两个箭头和为零。

结果是，对于穿越空间的粒子来说，接近直线的路径的振幅基本上都指向同一个方向，且相互放大。而弯曲路径的振幅则指向各个方向，且相互抵消。只有直线路径保留下来，这表明，最小作用原理的单一经典路径是如何从无穷多个量子选择中产生的。

费曼证明了他的路径积分与薛定谔方程是等效的。费曼方法的好处在于，它对如何处理量子世界提供了更直观的说明：加总所有可能性。

波纹的总和

物理学家很快意识到，粒子是量子场的激发，即在每个点上填充空间的实体。粒子可能沿着不同路径在不同位置之间移动，而场则可能在不同地方以不同方式产生波动。

幸运的是，路径积分对于量子场也适用。“该做什么是显而易见的，”康涅狄格大学的粒子物理学家杰拉尔德·邓恩说。“不要对所有路径求和，而是对所有场进行加总。”你确定场的初始和最终位置，然后考虑将它们连接起来的每一段历史。

1949年，费曼本人借助路径积分来发展了电磁场的量子理论。其他人则研究如何计算代表其他力和粒子的场的作用量和振幅。当现代物理学家预测欧洲大型强子对撞机中碰撞的结果时，路径积分是这些计算的基础。

“这绝对是量子物理学的基础，”邓恩说。

尽管路径积分在物理学中取得了胜利，但它让数学家感到不安。即使是一个简单的粒子在空间中运动，也有无限多条可能的路径。而场则更加复杂，其值在无限多个地方可以以无限多种方式变化。物理学家有聪明的技巧来应对这堆无限的问题，但数学家认为，积分诞生的初衷，并不是应用在这样一个无限的环境中。

“这就像黑魔法，”在中国扬州大学从事理论物理学研究、拥有数学背景的研究员王元君说道。“数学家不习惯处理那些不清楚到底发生了什么的事情。”

然而，它能够获得毫无争议的结果。物理学家甚至成功估算出强力（strong force）的路径积分，强力是一种极其复杂的相互作用，使原子核中的粒子保持在一起。他们主要采用了两种技巧：首先，他们将时间设为虚数，这是一种奇特的技巧，将振幅转化为实数。然后，他们将无限的时空连续体近似为一个有限的网格。采用这种“晶格”量子场论方法的研究者可以利用路径积分计算感受到强力作用的质子和其他粒子的性质，从而得到与实验相符的可靠答案。

时空等于什么的总和？

然而，基本物理学中最大的谜团却超出了实验的范畴。物理学家希望理解引力的量子起源。1915年，爱因斯坦将引力重新解释为空间和时间结构中弯曲的结果。他的理论表明，量尺的长度和时钟的滴答声会随着地点的变化而变化——换句话说，时空是一个可塑的场。其他场具有量子性质，因此大多数物理学家认为，时空也应具有量子性质，并且路径积分应该能够捕捉到这种行为。

英国物理学家保罗·狄拉克（左）在1933 年以一种考虑粒子的整个历史或路径，而不是其瞬间演化的方式重新构建了量子力学。美国物理学家理查德·费曼（右）接受了这个想法并付诸实践，于 1948 年发展了路径积分理论。图片来源：南德意志报图片/Alamy（左）；Estate of Francis Bello/Science Source（右）

费曼的哲学很明确：物理学家应该对时空的所有可能形状进行求和。但是当我们考虑时空的形状时，到底有哪些可能性呢？

例如，时空可能分裂，将一个位置与另一个位置分开；或者它可能被将各个位置连接起来管道所穿透，比如虫洞。爱因斯坦的方程允许奇特形状的存在，但不允许导致这些奇特形状的变化；撕裂或合并会违反因果性并引发时间旅行的悖论。不过，没有人知道时空和引力在量子层面上是否会进行更大胆的活动，因此物理学家也不确定是否应该将带有虫洞的时空纳入“引力路径积分”中。

有一派物理学家认为应该将所有一切都纳入其中。例如，斯蒂芬·霍金支持一种路径积分，它可以容纳裂缝、虫洞、甜甜圈和其他空间形状之间的疯狂“拓扑”变化。他依靠虚数技巧来简化数学计算：将时间变为虚数实际上将其转化为另一个空间维度。在这样一个永恒的舞台上，充满虫洞或撕裂的宇宙不会破坏因果关系。霍金利用这种永恒的“欧几里得”路径积分来论证时间从大爆炸开始，并计算黑洞内部的时空构建块。最近，研究人员利用这种欧几里得方法论证了信息从濒临消失的黑洞中泄漏出来的情况。

杜伦大学的量子引力理论学家西蒙·罗斯说，这“似乎是更丰富的观点”。 “涵盖所有拓扑的引力路径积分具有一些我们尚未完全理解的美妙特性。”

但更丰富的视角是有代价的。一些物理学家不喜欢移除现实中的承载元素，如时间。 欧几里德路径积分“真的是非常不物理学，”洛尔说。

她所属的那一派物理学家努力让时间纳入路径积分，将其置于我们熟悉和喜爱的时空中，在这个时空中，因果关系被严格遵循。在花了数年时间开发方法来近似这更强大的路径积分后，洛尔发现了这种方法可行的迹象。例如，在一篇论文中，她和合著者将一堆标准的时空形状相加（将每个形状近似为由小三角形组成的被子），并得到了类似于我们的宇宙的东西——粒子在其中以直线方式移动的时空等价物。

其他人正在推进时空和重力的永恒路径积分，包括所有拓扑变化。 2019 年，研究人员严格定义了二维宇宙的完整积分——而不仅仅是近似值，但使用的数学工具进一步混淆了其物理意义。这样的工作让物理学家和数学家更加相信，路径积分的力量仍有待开发。“也许我们还没有明确定义什么是路径积分，”王元君说，“但从根本上说，我认为这只是时间问题。”

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